Bin mir zwar nicht 100% sicher, aber soviel ich weiß reicht es wenn er den Versicherungsschein auf sich umschreiben lässt. Den wenn du privat verkaufst wird ja deswegen die Betriebserlaubniss ja auch nicht neu ausgestellt sondern die geht eben auf den neuen Besitzer über.
Ein Kaufvertrag wäre sicherlich immer von Vorteil, man weiß ja nie was noch alles passieren kann.